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（以下の数式部分の引用は手抜き。Docusaurus に数式を対応させるのは厄介なので、 build できるレベルまで手抜きしている。）

Me: 先の Jeremy Grantham のバブル定義で 44年ごとに発生する根拠を敷衍して。

結論から言うと、この「44年」はかなり単純な正規分布計算です。 Gran­tham / GMO の定義では、バブルとは「資産価格が長期の実質価格トレンドから ‌‌2標準偏差以上、上方に乖離した状態‌‌」です。GMOの2026年資料でも、バブルを「長期実質価格トレンドからの2標準偏差の乖離」と定義しています。(GMO)

1. 44年の算術​

標準正規分布を仮定します。

Z \sim N(0,1)

ここで「2シグマ上方」とは、

Z \geq 2

です。

標準正規分布では、

P(Z \geq 2) \approx 0.02275

つまり約 ‌‌2.275%‌‌。

これを「何回に1回か」に直すと、

\frac｛1｝｛0.02275｝ \approx 43.96

したがって、

[ 約44回に1回 ]

となります。

年次データを1年1観測とみなせば、

[ 約44年に1回 ]

という表現になります。

Gran­tham自身も、GMOの2022年論考で「ランダムで正規分布する系列なら、2シグマ事象は各方向で44試行に1回」と説明しています。(GMO) Reutersの2026年インタビューでも、彼は「2標準偏差」「年次ベースで44年に1回」と同じ趣旨を述べています。(Reuters)

2. 重要なのは「片側」確率であること​

ここがやや紛らわしい点です。

判定基準	確率	頻度
上方だけ：(Z geq 2)	約2.275%	約44回に1回
下方だけ：(Z leq -2)	約2.275%	約44回に1回
上下どちらでも	約4.55%	約22回に1回

したがって、「44年」は ‌‌上方2シグマだけ‌‌、または ‌‌下方2シグマだけ‌‌を個別に見た場合の数字です。

バブルの定義では「上方乖離」が問題なので、

P(Z \geq 2)

を使う。 これが44年の根拠です。

逆に、「上下どちらの2シグマ異常でもよい」と数えるなら、頻度は約22年に1回になります。ここを混同すると、44年という数字が妙に見えます。

3. 「完全にランダムであれば」の意味​

ここでいう「完全にランダム」は、厳密には、

価格の長期トレンドからの乖離が、独立した正規分布的な年次観測として振る舞うなら

という仮定です。

つまり、資産価格そのものが毎年サイコロのように動く、という意味ではありません。GMOの説明でも、長期トレンドからの乖離を標準偏差で測る、という形になっています。(GMO)

より形式的に書くと、

Z_t = frac｛P_t - T_t｝｛sigma｝

です。

• (P_t)：その年の実質価格
• (T_t)：長期実質価格トレンド
• (sigma)：トレンドからの乖離の標準偏差
• (Z_t)：何シグマ乖離しているか

この (Z_t) が +2 を超えたら「2シグマ・バブル」と呼ぶ、という発想です。

4. 「44年ごとに発生する」は平均待ち時間であって、周期ではない​

これも重要です。

「44年ごとに発生する」という表現は、厳密には、

平均すれば44年に1回程度の頻度

という意味です。

44年経てば必ず1回起こる、という意味ではありません。

1年あたりの発生確率を (p = 0.02275) とすると、44年間に少なくとも1回起こる確率は、

1 - (1-p)^｛44｝ approx 63.7%

です。

つまり、「44年に1回」というのは期待値であり、実際の出現は大きくばらつきます。

5. Granthamの「実際には36年ごと」の意味​

Gran­thamは、現実の株式市場ではこの2シグマ級の外れ値が、理論上の44年より少し頻繁に、だいたい35〜36年に1回起こると述べています。Morningstarの2022年インタビューでは「完全にランダムな世界なら44年に1回、人間が非効率なので株式市場では35年に1回」と述べています。(Morningstar) Reutersの2026年インタビューでは「実際の株式市場では36年に1回」と述べています。(Reuters)

彼の解釈はこうです。

市場が完全に効率的・ランダムなら、2シグマ上方乖離は約44年に1回。 しかし現実の市場では、人間の群集心理、楽観、レバレッジ、投機、制度的追随行動があるため、上方の極端な乖離が少し多く発生する。 その経験的頻度が35〜36年に1回程度だ、という主張です。

GMOは、金融史上の各資産クラスにわたって300件超の2シグマ級の動きを調べたとし、特に先進国株式市場の2シグマ・バブルは最終的にトレンドまで戻った、と説明しています。(GMO) また、2022年のGMO論考でも、先進国株式市場の2シグマ・バブルはすべてトレンドまで戻った、と要約しています。(GMO)

6. この主張の妥当性と限界​

44年という数字自体は、かなり堅いです。 根拠は標準正規分布の片側2シグマ確率：

P(Z geq 2) approx 2.275%

なので、数学的には明快です。

ただし、金融市場への適用にはかなり強い仮定があります。

第一に、市場価格の乖離が正規分布に従うとは限りません。金融市場は一般にファットテールで、極端な事象は正規分布より多く起こりがちです。

第二に、年次観測が独立とは限りません。バブルは数年かけて膨らむため、ある年に2シグマに近づいた市場は翌年も高止まりしやすい。これは独立試行ではありません。

第三に、トレンド線の引き方で「何シグマか」が変わります。長期実質価格トレンドをどう推定するか、対象期間をどこから取るか、インフレ調整をどうするかで判定は動きます。

したがって、この定義は「物理法則のような厳密な発生確率」ではなく、

歴史的市場を比較するための、GMO流の統計的しきい値

と見るのが正確です。

要するに、引用文の根拠はこうです。

[ 2 sigma text｛上方乖離｝ = 標準正規分布の上側約2.275% = 約44年に1回 ]

ただしこれは「片側」「年次観測」「正規分布」「独立試行」という仮定の上に立つ便宜的な基準です。現実市場では、人間の投機行動によってそれより少し頻繁に起こる、というのがGranthamの経験則です。